MICROSOFT MATHEMATICS Again..

Kali ini akan membahas tentang Matriks Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian, mencari Invers, Determinan, Transpose dan Ordo  dengan menggunakan Software Microsoft Mathematics. 

1.  Penjumlahan Matriks 

Langkah-Langkah:

• Klik Linear Algebra pada kotak bergambar kalkulator, lalu untuk menentukan ordo dengan menggunakan Insert Matriks, disini saya menggunakan ordo 2x2.

 

• Masukkan angka dimatriks 2x2 sesuai yang anda inginkan, kemudian klik Enter. Terlihat hasilnya pada worksheet.

• Untuk melihat cara dalam penjumlahan matriks, klik Solution Steps.

 

      Jika ingin mengetahui Determinan, Invers, dan Ordo dari soal yang kita kerjakan tadi, caranya tinggal mengklik Determinant, Inverse, dan Size yang letaknya dibawah output. Hasilnya seperti gambar berikut:

                                                                   Hasil Determinan 

                                                              Hasil Invers

                                                             Hasil Ordo

Dan jika ingin melihat hasil Transpos dari invers tadi, klik transpose pada hasil invers diatas. 

hasilnya seperti gambar dibawah ini:

  

    2.   Pengurangan Matriks 

Langkah-langkah:

• Klik Linear Algebra pada kotak bergambar kalkulator, lalu untuk menentukan ordo dengan menggunakan Insert Matriks, disini saya menggunakan ordo 3x3.

 

 

• Masukkan angka dimatriks 3x3 sesuai yang anda inginkan, kemudian klik Enter untuk melihat hasilnya.

• Jika ingin melihat cara dalam pengurangan matriks, klik Solution Steps.

• Dan jika ingin mencari nilai Determinan, Invers dan Transpos pada Pengurangan matriks tadi, caranya sama seperti penjumlahan matriks diatas.

Hasil Determinan

 Hasil Invers

Hasil Transpos

 

       

      Ordo pada penjumlahan dan pengurangan dalam matriks harus sama. Misalkan kita  masukkan ordo 2x2 dijumlahkan dengan ordo 3x3, maka tidak ada hasilnya tetapi terdapat tulisan “Matrices must be the same size for the requested operation”  artinya “matriks harus ber-ordo sama dalam pengoperasian yang diminta”.

 

  3. Perkalian matriks dengan ordo yang berbeda. Ordo (2x3 dan 3x3)

Langkah-langkah: 

•       Caranya sama seperti penjumlahan dan pengurangan yang diatas tetapi ordonya kita tentukan dengan baris dan kolom 2x3 dan dikalikan dengan baris dan kolom 3x3. 

•       Masukkan nilai pada masing-masing kotak, lalu klik enter. Dan hasilnya seperti gambar dibawah ini.

 

•         Untuk melihat cara dalam perkalian matriks klik Solution Steps.

 

 

 Mencari nilai Transpos dari hasil perkalian diatas.

Mencari nilai ordo dari hasil perkalian diatas.

   4. Mencari Determinan dari ordo 3x3.

Langkah-langkah: 

•             Caranya masih sama seperi yang sebelumnya, tinggal menggantikan ordonya dengan baris dan kolom 3x3. Dan tuliskan pada depan tanda kurung "Det"

 

2.      Kemudian pada hasil determinan ini terdapat 2 Solusi, yaitu solutions steps using diagonals dan solutions steps using expansion by minors. Kedua hasilnya sama hanya caranya saja yang berbeda.
     
      Gambar solutions steps using diagonals.

Gambar solutions steps using expansion by minors.

GRAPHMATICA

Di sini kita akan mencoba menyelesaikan beberapa soal dengan menggunakan graphmatica.

Soal 1: Grafik Himpunan Penyelesaian   

2x – y ≤ 1 3x + y ≤ 14 x – 3y ≤ -2 x ≥ 0, y ≥ 0

Menentukan  himpunan penyelesaian dari persamaan:

Langkah-langkah:

• Ketik  pada kotak soal yang diatas: 2x – y >= 1 ; 3x + y >= 14 ; x – 3y >= -2 ; x <= 0 ; dan y <=0 (disini menggunakan tanda lebih dari atau kurang dari yang berlawanan diatas karena ingin menentukan Hp nya yang tidak diarsir)

• Kemudian beri nama pada titik-titik perpotongan dan Hp dengan mengklik Edit – Annotations lalu klik titik yang ingin diberi nama.

Soal 2 : Grafik Fungsi Kuadrat

Menunjukkan grafik y = x²

Langkah-langkah:

• Ketik pada kotak y = x ^2 
• Untuk mengetahui titik-titik pada grafik dengan mengklik View- Point tables, tetapi jika ingin mengetahui satu titik saja caranya dengan mengklik Tools- Evaluate.

Soal 3: Grafik Luas Daerah Dibawah Kurva atau yang Berbatasan dengan Dua Kurva

Mencari luas pada kurva dengan y = -x² + 3x dan y = x

Langkah-langkah:

• Ketik pada kotak y = -x ^2 + 3x dan y = x 
•  Mencari luas dengan mengklik calculus-Integrate, kemudian Equation 1: y = x² + 3x ; Equation 2: y = x dan Integrate from x = 0 to x = 2 lalu klik calculate sehingga terlihat hasilnya.

Soal 4: Grafik Garis Singgung Parabola

Menentukan garis singgung parabola dengan persamaan x² + 2x – 5y – 9 = 0

Langkah-langkah:

•  Ketik pada kotak x² + 2x – 5y – 9 = 0 
• Untuk membuat garis singgung klik Calculus- Draw Tangent kemudian klik disembarang titik pada garis parabola, lalu akan ada tabel Draw tangent Line yang mana x dan y- nya bisa dirubah.

CABRI 2 DIMENSI (2D)

Menggunakan aplikasi Cabri 2 dimensi (2D)

     Garis Singgung Melalui Satu Titik pada Lingkaran.

Langkah-langkah:

1.      Buat lingkaran yang berjari-jari bebas, dengan mengklik circle dan tandai titik pusat (O) dengan mengklik label.

2.      Buat garis OQ dengan mengklik segmen dan supaya garis terlihat lurus sambil menekan tombol Shift.

3.      Buat titik potong garis dengan lingkaran, dengan mengklik Intersection point(s) dan tandai titik potong, misal titik P dengan mengklik label.

4.      Buat lingkaran dengan pusat (P) (caranya sama seperti diatas) dengan mengklik circle, yang memotong garis OP dan PQ dititik A dan B.

5.      Kemudian buat lingkaran dengan titik pusat A dan B dengan  jari-jari AB dan BA.

6.      Buat  titik potong dari kedua lingkaran tadi dengan mengklik Intersection point(s) dan beri nama titik potong tersebut, misal titik C dan D dengan mengklik Label.

7.      Buat garis CD dengan mengklik Segment, sehingga terbentuk garis singgung melalui titik pada lingkaran.

8.      Supaya terlihat rapi dan tidak membingungkan hilangkan lingkaran dengan pusat P, A dan B dengan mengklik Hide/show.  

     Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran.

Langkah-langkah:

1.      Buat lingkaran dengan jari-jari bebas dengan menggunakan Circle dan beri nama titik pusat (O) dengan menggunakan Label.

2.      Buat titik (T) diluar lingkaran dengan menggunakan Point.

3.      Kemudian buat garis dari titik T ke O dengan menggunakan Segment.

4.      Menentukan titik tengah (M) pada garis OT dengan menggunakan Midpoint.

5.      Buat lingkaran dengan pusat M dan jari-jari OM sehingga memotong lingkaran pertama di titik A dan B.

6.      Hilangkan lingkaran yg berpusat di O dengan menggunakan Hide/show.

7.      Buat garis dari T ke A dan T ke B, sehingga terdapat garis singgung yaitu garis TA dan TB.

    Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar.

Langkah-langkah:

1.      Buat dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari R dan r (r < R).

2.      Buat garis PQ dengan menggunakan segment.

3.      Buat lingkaran sembarang yang berpusat di P dan Q dengan jari-jari yang sama dan panjangnya harus lebih besar dari lingkaran pertama dan kedua. Cara mengetahui besar lingkaran tersebut dengan menggunakan Distance or length.

4.      Buat titik potong kedua lingkaran tadi dengan memberi nama titik M dan titik N.

5.      Kemudian hilangkan kedua lingkaran tersebut dengan menggunakan Hide/show.

6.      Buat garis MN dengan menggunakan segment, sehingga memotong garis PQ di T.

7.      Buat lingkaran dengan pusat T dan jari-jari PT.

8.      Buat lingkaran kembali dengan pusat P dan jari-jari (R - r). Cara mengetahui panjang R dan r adalah buat titik potong garis PQ dengan lingkaran pertama dan yang kedua, misal titik A dan B setelah itu cari jarak garis PA dan QB dengan menggunakan Distance or length. Setelah itu hitung R - r dengan menggunakan calculate.

9.      Buat titik potong C dan D pada lingkaran tadi dengan lingkaran yang berpusat di T.

10.  Buat garis PC dan PD, kemudian perpanjang kedua garis tersebut sehingga memotong lingkaran yang berpusat di P pada titik E dan F.

11.  Hilangkan lingkaran yang berpusat di T dengan menggunakan Hide/show.

12.  Buat lingkaran dengan pusat E dan jari-jari EQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q di titik G. Dan buat lingkaran dengan pusat F dan jari-jari FQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q dititik H.

13.  Hilangkan kedua lingkaran tersebut dengan menggunakan Hide/show.

14.  Buat garis EG dan FH yang merupakan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di P dan Q.

     Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam

Langkah-langkah:

1.      Buat dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari masing-masing R dan r (r < R) dengan menggunakan Circle, kemudian buat garis dari titik P ke Q dengan menggunakan segment.

2.      Buat  titik tengah (T) pada garis PQ dengan menggunakan Midpoint.

3.      Buat lingkaran yang berpusat di T dengan jari-jari PT.

4.      Buat lingkaran yang berpusat di P dan berjari-jari R + r sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan B.

Cara mengetahui panjang R + r adalah dengan membuat titik potong garis PQ dengan lingkaran pertama dan kedua, kemudian hitung panjang masing-masing dari titik pusat ke titik potong dengan menggunakan Distance or length. Kemudian jumlahkan kedua hasil tersebut dengan menggunakan Calculate.

5.      Kemudian hilangkan lingkaran tersebut dengan menggunakan Hide/show.

6.      Buat garis dari titik P ke A dan titik P ke B sehingga memotong lingkaran dengan pusat P di titik C dan D.

7.      Buat lingkaran yang berpusat di C dan D dengan jari-jari CQ dan DQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q dititk E dan F.

8.      Kemudian hilangkan lingkaran tersebut.

9.      Hubungkan titik C dengan F dan titik D dengan E, sehingga garis CE dan DF adalah garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di P dan Q.